macam - macam logaritma dan contohnya

Macam-Macam Sifat Logaritma dan Rumusnya

#Sifat 1 (Perkalian Logaritma)

^alog (b × c) = ^alog b + ^alog c

Pembuktian sifat 1 logaritma

Misalkan

^alog b = n maka aⁿ = b

^alog c = m maka a^m = c

b × c = aⁿ × a^m

dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh

b × c = a^{n + m} sehingga

^alog (b × c) = n + m, karena n = ^alog b dan m = ^alog c maka

^alog (b × c) = ^alog b + ^alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

a.     ²log 4 + ²log 8

b.    ⁵log ½ + ⁵log 50

Jawab

a.     ²log 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²log 32 = 5

b.    ⁵log ½ + ⁵log 50 = ⁵log (½ × 50) = ⁵log 25 = 2

#Sifat 2 (Pembagian Logaritma)

^alog (b/c) = ^alog b − ^alog c

Pembuktian sifat 2 logaritma

Misalkan

^alog b = n maka aⁿ = b

^alog c = m maka a^m = c

b/c = aⁿ /a^m

dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh

b/c = a^n − m sehingga

^alog (b/c) = n − m, karena n = ^alog b dan m = ^alog c maka

^alog (b/c) = ^alog b − ^alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

a.     ⁷log 217 − ⁷log 31

b.    log 0,05 − log 5

Jawab

a.     ⁷log 217 − ⁷log 31 = ⁷log (217/31) = ⁷log 7 = 1

b.    log 0,05 − log 5 = log (0,05/5) = log 0,01 = −2

#Sifat 3 (Perpangkatan Logaritma)

^alog bⁿ = n × ^alog b

Pembuktian sifat 3 logaritma

Dari sifat 1 logaritma,

^alog b + ^alog b = ^alog (b × b)

2 ^alog b = ^alog b²

Dengan cara yang sama:

^alog b² + ^alog b = ^alog (b² × b)

2 ^alog b + ^alog b = ^alog b³

3 ^alog b = ^alog b³

Dengan cara yang sama:

^alog b³ + ^alog b = ^alog (b³ × b)

3 ^alog b + ^alog b = ^alog b⁴

4 ^alog b = ^alog b⁴

Dengan demikian dapat disimpulkan:

n ^alog b = ^alog bⁿ

atau

^alog bⁿ = n × ^alog b

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

a.         2 log 25 – 3 log 5 + log 20

b.         ½ ²log 82 – 3 ²log 3 + ²log 48

Jawab

a.         2 log 25 – 3 log 5 + log 20

= log 25² – log 5³ + log 20

= log (25²/5³) + log 20

= log 5 + log 20

= log (5 × 20)

= log 100 = 2

b.         ½ ²log 82 – 3 ²log 3 + ²log 48

= ²log 82^½ – ²log 3³ + ²log 48

= ²log (9/27) + ²log 48

= ²log 1/3 + ²log 48

= ²log (1/3 × 48)

= ²log 16 = 4

#Sifat 4 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 1)

alog b	=	nlog b
		nlog a

Pembuktian sifat 4 logaritma

Baca Juga:

·                     Aplikasi Logaritma: Perkalian, Pembagian, Pemangkatan dan Penarikan Akar Bilangan

·                     Cara Menentukan Nilai Antilogaritma Bilangan Lebih dari 1 dan Kurang dari 0

·                     Cara Menentukan Nilai Logaritma Bilangan Lebih dari 10 dan Kurang dari 1

Misalkan

^alog b = m maka b = a^m

ⁿlog b = ⁿlog a^m

ⁿlog b = m × ⁿlog a

m = ⁿlog b/ ⁿlog a

^alog b = ⁿlog b/ ⁿlog a

Contoh Soal

Jika ²log 3 = a, nyatakan bentuk logaritma ⁸log 3 ke dalam a.

Jawab

⁸log 3 = log 3/log 8

⁸log 3 = log 3/log 2³

⁸log 3 = 1/3 × (log 3/log 2)

⁸log 3 = 1/3 × ²log 3

⁸log 3 = 1/3 a

#Sifat 5 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 2)

alog b	=	1
		blog a

Pembuktian sifat 5 logaritma

Sifat logaritma yang ke-5 ini adalah sifat logaritma ke-4 dengan n = b.

^alog b = ⁿlog b/ⁿlog a

^alog b = ^blog b/ ^blog a

^alog b = 1/ ^blog a

Contoh Soal

Tentukan nilai dari ²log 8 dan ⁶⁴log 4

Jawab

²log 8 = 1/⁸log 2

²log 8 = 1/⁸log 8^1/3

²log 8 = 1/(1/3)

²log 8 = 3

⁶⁴log 4 = 1/⁴log 64

⁶⁴log 4 = 1/⁴log 4³

⁶⁴log 4 = 1/3

#Sifat 6 (Perluasan Sifat Perkalian Logaritma)

^alog b × ^blog c = ^alog c

Pembuktian sifat 6 logaritma

Dengan menggunakan sifat logaritma nomor 4 di atas maka:

^alog b = ⁿlog b/ⁿlog a

^blog c = ⁿlog c/ⁿlog b

sehingga

^alog b × ^blog c = (ⁿlog b/ⁿlog a) × (ⁿlog c/ⁿlog b)

^alog b × ^blog c = ⁿlog c/ ⁿlog a

^alog b × ^blog c = ^alog c

Contoh Soal

Hitunglah nilai logaritma dari

a.         ²log 5 × ⁵log 64

b.         ²log 25 × ⁵log 3 × ³log 32

Jawab

a.         ²log 5 × ⁵log 64 = ²log 64 = ²log 2⁶ = 6

b.         ²log 25 × ⁵log 3 × ⁹log 32

= ²log 5² × ⁵log 3 × ³log 2⁵

= 2 ²log 5 × ⁵log 3 × 5 ³log 2

= 2 × 5 × ²log 5 × ⁵log 3 × ³log 2

= 10 × ²log 2

= 10 × 1

= 10

#Sifat 7 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 1)

anlog bm	=	m	× alog b
		n

Pembuktian sifat 7 logaritma

Misalkan

^anlog b^m = c maka (aⁿ)^c = bm

(aⁿ)^c = b^m

a^n×c = b^m

b = ^m√(a^nc)

b = a^nc/m (bentuk pangkat ini kita ubah menjadi bentuk logaritma)

^alog b = nc/m (ruas kanan dan kiri dikalikan m/n)

m/n × ^alog b = c

m/n × ^alog b = ^anlog b^m

Contoh Soal

Hitunglah nilai logaritma dari

a) ²²log 4³

b) ²⁴log √32

Jawab

a) ²²log 4³ = 3/2 × log 4 = 3/2(2) = 3

b) ²⁴log √32 = ²⁴log 32^½ = 1/8 × ²log 32 = 1/8 (5) = 5/8

#Sifat 8 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 2)

anlog bn = alog b

Pembuktian sifat 8 logaritma

Dengan menggunakan sifat 7 logaritma, sifat 8 ini sudah terbukti dengan jelas jadi tidak perlu di uraikan pembuktiannya.

Contoh Soal

Jika ²log 3 = a, nyatakan logaritma ⁸log 27 ke dalam bentuk a

Jawab

⁸log 27 = ²³log 3³ = ²log 3 = a

#Sifat 9 (Perluasan dari Bentuk Umum Logaritma)

a^{alog b} = b

Pembuktian sifat 9 logaritma

Misalkan ^alog b = c maka a^c = b, sehingga

a^{alog b} = a^c = b

a^{alog b} = b

Contoh Soal

Sederhanakanlah

a) 2^{2log 5}

b) 3^{3log 4}

c) 5^{5log 10}

d) 7^{7log 25}

Jawab

a) 2^{2log 5} = 5

b) 3^{3log 4} = 4

c) 5^{5log 10} = 10

d) 7^{7log 25} = 25

#Sifat 10 (Invers Pembagian Logaritma)

^alog (b/c) = − ^alog (c/b)

Pembuktian sifat 10 logaritma

Sifat 10 logaritma dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat 2 logaritma, pembuktiannya adalah sebagai berikut:

^alog (b/c) = ^alog b − ^alog c

^alog (b/c) = − (^alog c − ^alog b)

^alog (b/c) = − {^alog (c/b)}

^alog (b/c) = − ^alog (c/b)

Contoh Soal

Tentukan nilai logaritma dari

a.         ²log (4/2)

b.         ⁴log (32/2) 

Jawab

a.         ²log (4/2) = −²log (2/4)  = − ²log ½  = − ²log 2⁻¹ = − (−1) ²log 2 = 1

b.         ⁴log (32/2) = −⁴log (2/32) = − ⁴log (1/16) = −⁴log 4^-2 = − (−2) ⁴log 4 = 2